Matemática, una necesidad producto de la vida en sociedad

Antes de leer el texto “Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje” de Chevallard, Gascón y Bosch no me había puesto a pensar en como influye la vida en comunidad en la existencia de las matemáticas. Al leer fui recordando que ya en las primeras civilizaciones, como la egipcia, se comenzó a razonar matemáticamente sobre problemas provenientes de la vida en sociedad, como por ejemplo la situación de delimitar los terrenos después de la crecida del Nilo. Esto me hace pensar que la matemática ha sido fundamental no sólo para solucionar problemas cotidianos sino que también para el desarrollo de los pueblos.

El estudio de las matemáticas en la escuela era para mi algo tan natural que nunca me había preguntado sobre su existencia, ni menos como influye la vida en comunidad en su estudio. Aunque todavía no le encuentro mucho sentido al estudio de varios contenidos que se enseñan en la escuela, pues no se utilizaran en la vida cotidiana, si comprendo que son necesarios para continuar estudios superiores. Creó que para poder encontrarles sentido tendré que buscar información sobre estos temas (como los logaritmos), tal vez conocer el problema que generó su estudio o encontrar ejemplos que me permitan entender su utilidad.

Del texto, me llamo poderosamente la atención la siguiente afirmación: “La presencia de las matemáticas en la escuela es una consecuencia de su presencia en la sociedad y, por lo tanto, las necesidades matemáticas que surgen en la escuela deberían estar subordinadas a las necesidades matemáticas de la vida en sociedad”. Esto me hace pensar que la matemática ha nacido como respuesta a una necesidad producto de la vida en comunidad, pero que no debe reducirse a la estudiada en el colegio. Además el hecho de ver la matemática escolar como una parte de la matemática que sólo necesita ser enseñada y aprendida, como dice el autor, reduce el interés social de que todos tengamos una cultura matemática básica, este reduccionismo lleva a la mecanización, entonces es valido preguntarse ¿Cómo hacer que los alumnos tengan un interés tal que les lleve a pensar y reflexionar matemáticamente los problemas? Esta ha sido la pregunta en la que más he reflexionado y aunque tengo algunas ideas en cuanto a desarrollar mis clases presentando, por ejemplo, la evolución histórica de los conceptos, diversos modos de solución a los problemas, etc. aun no tengo una respuesta clara a esta interrogante.

Antes pensaba que hacer matemática era crear nueva matemática, pero ahora se que he estado en un gran error, pues aunque es difícil decir exactamente que actividades son puramente matemáticas se han identificado tres grandes tipos genuinos de estas actividades:
- En primer lugar, tenemos la resolución de problemas a partir de herramientas matemáticas que uno ya conoce y sabe cómo utilizar. Entre las personas que se encuentran en esta situación puedo destacar el caso del estudiante cuando resuelve ciertos problemas presentados haciendo uso de sus conocimientos previos en matemáticas o el caso del profesor cuando desarrolla un problema utilizando sus conocimientos matemáticos en ello.
- En segundo lugar, cuando se nos presenta un problema tal que no podemos abordar o no contamos con las herramientas matemáticas para poder resolverlo, entonces surge la actividad de aprender y enseñar matemáticas. Este caso es común en la escuela donde el alumno recurre al profesor de matemática en busca de nuevos conocimientos que le permitan desarrollar problemas.
- En tercer lugar, encontramos la creación de matemáticas nuevas. En este caso se encuentran los matemáticos que tratan de encontrar respuestas matemáticas a ciertos problemas que aun no tienen solución, entonces el trabajo de los matemáticos consiste en encontrar modelos nuevos o dar una nueva utilización a los ya existentes, con el fin de dar respuesta a estas interrogantes que van surgiendo, pero también se encuentran en este caso aquellos que al aprender crean matemáticas nuevas para si, entonces podemos decir que han creado algo nuevo, sólo que en este caso no es para el resto.

El proceso didáctico hace referencia a cada vez que alguien es llevado a estudiar matemáticas, solo o con ayuda de otro, es decir, al proceso de enseñanza-aprendizaje. En general, se piensa que este proceso se da exclusivamente en la sala de clases, pero no es así, puesto que la tarea del profesor sólo consiste en entregar nuevos conocimientos y servir de guía a sus estudiantes en la resolución de problemas, por consiguiente, el mayor trabajo es el que se desarrolla fuera del aula, el que tiene que desarrollar el alumno por si solo en busca de la construcción de su propio conocimiento, debido a esto me surge una gran interrogante ¿Cómo lograr que el alumno estudie fuera del horario de clases? Considero que la motivación es clave para el logro de este objetivo, entonces será nuestra tarea realizar la enseñanza de los temas de tal manera que los alumnos se interesen por su estudio y les lleve a reflexionar y buscar respuestas a los problemas presentados y no se conformen con la resolución mecánica de ejercicios, es decir, nuestra tarea consistirá en lograr que al menos unos pocos de nuestros alumnos tengan un verdadero interés en el aprendizaje, lo que suena muy bonito pero que tengo claro que será difícil.

Un tema bastante importante dentro del trabajo en el aula es el contrato didáctico implícito en el desarrollo de las clases en el que los estudiantes dan por supuesto ciertas situaciones, como por ejemplo que no se les pueden presentar problemas antes de haber enseñado la materia, que si se les presentan problemas estos se solucionan utilizando la materia en estudio o que todo problema esta bien planteado y tiene solución; estas cláusulas en el contrato didáctico que rige las actividades hacen recaer la responsabilidad de la validez matemática de las respuestas dadas en clase a los problemas casi en forma absoluta a los profesores, aunque considero que esta situación es mantenida por los mismos profesores quienes entregan las respuestas a los problemas diciendo implícitamente que esa es la verdad absoluta y que el estudiante debe aceptar, y por lo tanto, no dan la validez necesaria a las conclusiones obtenidas por los estudiantes, que es de donde debiera desarrollarse la discusión y análisis de los problemas.

Finalmente, puedo decir que el análisis de este texto me permitió descubrir que muchas de mis creencias sobre las matemáticas estaban erradas, por lo que no solo debo reflexionar sobre ello sino que buscar más antecedentes y seguir investigando, pues nosotros seremos profesores, y así como debemos tener los conocimientos matemáticos necesarios para ser capaces de enseñar, también debemos conocer más de las matemáticas, su relación con la sociedad y su relación con el proceso de enseñanza-aprendizaje.

Conciencia y coherencia una necesidad en el proceso educativo

En la primera clase de la semana del 09 de abril de 2007 nos situamos como profesores para responder a 33 interrogantes presentes en un test que utiliza una escala likert de 5 puntos para medir el grado de acuerdo con cada una de ellas. Al realizar el análisis de cada situación planteada, clasificándolas de acuerdo al paradigma educativo al que pertenecían, pudimos descubrir si adherimos al paradigma tradicional o al emergente. Personalmente opino que es necesario darse cuenta de ello, pues muchas veces nuestras acciones contradicen nuestras palabras; esto me llevo a reflexionar acerca del paradigma que utilizo en mi discurso, además de hacerme pensar en cómo lograré que todo aquello que digo lo traspase a la planificación y posterior realización de mis clases. ¿Podemos desarrollar la enseñanza basados totalmente en un paradigma educativo? Considero que ningún profesor es completamente tradicionalista o emergente al desarrollar el proceso de enseñanza- aprendizaje (así como blanco o negro) sino que adhiere más a un paradigma que a otro, aunque estimo que esto no es lo más relevante del tema, pues lo que nos debería importar es la coherencia de nuestras acciones.

En el texto "Psicología del aprendizaje de las Matemáticas" de R. Skemp estudiamos el capítulo II referido a la Formación de conceptos Matemáticos. En el se examina como las personas formamos, utilizamos y comunicamos los conceptos y también que entendemos por concepto. Todas las personas aprendemos acomodando nuestra experiencia pasada a una situación presente, este proceso lo desarrollamos de forma continua y espontánea (así como pestañear), debido a lo anterior es importante que nosotros también colaboremos con los alumnos en la realización de este proceso mental en el que enlazan una situación o aprendizaje nuevos con algún aprendizaje previo que poseen, más aún sabiendo que los conceptos matemáticos se encuentran entre los más abstractos, pues sólo así tendrán los elementos necesarios para ir formando nuevos conceptos y estructuras cognitivas, que a su vez permiten aumentar nuestra capacidad mental y ayudan a conseguir una mayor comprensión que conduce a un mejor aprendizaje. Este estudio me pareció bastante interesante, pues me ha hecho reflexionar sobre lo importante que es la formación de conceptos, además de hacerme pensar en cuál es su relación con la comunicación y cómo a través de ella influimos sobre el aprendizaje, puesto que si los estudiantes no comprenden los conceptos que se están utilizando en el estudio de un tema no consiguen una verdadera construcción de conocimientos.

Considero que la comunicación es una herramienta esencial para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje, debido a esto hay que tomar conciencia y por lo tanto cuidar el lenguaje empleado en la realización de las clases, pues este es base en la formación de conceptos. Sabemos que el significado de una palabra es el concepto asociado con esa palabra, pero también que las palabras tienen distintos significados según el contexto en el que se estén utilizando, así por ejemplo, pensemos en una clase de matemáticas en la que se esta utilizando el concepto de limite, perfectamente podríamos pensar que se están refiriendo a un limite en el sentido cotidiano, y no a un limite propio de la matemática, entonces para evitar estos errores en los estudiantes es necesario estar conscientes sobre ellos y tratar de evitarlos haciendo por el ejemplo un paralelo que muestre las diferencias que existen entre lo que conocen y lo nuevo, y no sólo dando otra nueva definición que los pueda confundir más o que no se comprenda, y que por lo tanto, no ayuden a eliminar nuestras creencias sobre a lo que se refieren los conceptos. Sin embargo, hay que tener conciencia de que en matemáticas los conceptos son más abstractos que en la vida diaria, y muchas veces no tenemos conocimientos previos para relacionarlos, y por lo tanto, el proceso de comunicación es mucho más difícil.

Cuando aprendemos realizamos espontáneamente los procesos de abstraer, clasificar y abstracción. Abstraer es una actividad por la cual nos hacemos conscientes de similitudes entre nuestras experiencias, clasificar significa reunir nuestras experiencias sobre la base de estas similitudes y abstracción es un cierto tipo de cambio mental duradero, resultado del proceso de abstraer, entonces podemos decir que abstraer es una actividad mental y abstracción es el producto final de ella, que conocemos como concepto. Por lo tanto, un concepto requiere de un cierto número de experiencias que tengan algo en común para poder formarlo, por consiguiente considero que nuestra misión educativa deberá desarrollarse utilizando ejemplos a modo introductorio, y no sólo los triviales ni los más fáciles, pues esto permitirá que los estudiantes formen una representación mental de ellos aunque después es necesario pasar al conocimiento formal de estos.

En conclusión, puedo decir que aunque sabemos que el proceso de enseñanza-aprendizaje no es fácil para el que enseña ni para el que aprende, nosotros como profesores podemos tratar de que se produzca de la mejor forma posible y para ello es necesario tomar conciencia tanto de los errores en los que pueden incurrir los estudiantes como de los obstáculos que se les presentarán durante el aprendizaje de los diferentes temas de estudio, también es necesario que tratemos de lograr una coherencia entre nuestro discurso y nuestras acciones, aunque personalmente creo que es bastante difícil siento que al ser conscientes de ello estamos un paso adelante. ¿Qué opinan? respondan.

¿Memorizamos o realmente aprendemos?

Durante la semana del 02 de abril, hemos estado analizando el texto “Semiosis y pensamiento humano” de Raymond Duval. Este texto me hizo reflexionar acerca de las diferentes formas que tenemos para representar un concepto, los que hemos aprendido a lo largo de nuestra enseñanza, también me di cuenta que en general, lo que se nos viene primero a la mente es la representación gráfica de un concepto en vez del concepto en si (por lo menos a mi sí), será que ¿Es más fácil recordar una imagen? o es que ¿Los conceptos no son enseñados sino dictados y aprendidos de memoria?. Lo anterior lo razone cuando se pidió a diferentes estudiantes que dijeran con que relacionaban al concepto de función, aquí algunos compañeros entregaron una representación gráfica, otros una representación algebraica y finalmente una aproximación al concepto realizada verbalmente.

La Matemática es una ciencia que se ha desarrollado gracias a la incorporación de nuevas formas de representación de los objetos matemáticos, puesto que al inventar nuevos modos de escritura se ha posibilitado la síntesis de información que a la vez permite resolver de manera más rápida y fácil un problema, pero para que pueda ser entendido por otro es necesario que este ultimo conozca no sólo la simbología empleada sino que también su relación con el concepto tratado. Este punto es de gran importancia debido que gran parte de los errores y dificultades en que incurren los estudiantes se debe a que aunque conocen diversas formas de representación de un concepto no comprenden su relación o los relacionan equivocadamente, además sabemos que la matemática es la ciencia en la que se hace más evidente las diversas formas de representación de un objeto es por ello que el docente al realizar su clase debiese considerar esto para incorporarlo en la enseñanza. Un ejemplo de ello es plantear problemas que no se centren en el resultado sino en las acciones y los diversos modos que utilizaron los estudiantes para encontrarlo.


Duval, incorpora nuevos conceptos entre los que se distinguen semiosis, noesis, representaciones semióticas y representaciones mentales cuyo significado y relación comprendo de la siguiente forma:
- Semiosis es el paso de la representación mental a la grafica, es decir, se sabe diferenciar entre un concepto y su represtación.
- Noesis: consiste en la comprensión del concepto que se esta tratando.
- Representaciones semióticas son el medio por el cual se exteriorizan las representaciones mentales.
- Representaciones mentales se refiere al conjunto de imágenes y concepciones que un individuo posee sobre un concepto o situación.

Cuando el autor habla del uso de varios sistemas semióticos de representación y de expresión en matemáticas, establece dos argumentos importantes; el primero plantea que no puede haber comprensión en matemáticas si no se distingue un objeto de su representación y el segundo establece que las representaciones semióticas no parecen ser más que el medio del cual dispone un individuo para exteriorizar sus representaciones mentales, es decir, para hacerlas visibles o accesibles a los otros.

Al estudiar este texto me he dado cuenta que pasar de un sistema de representación a otro de manera espontánea, es un acto que no sucede la mayoría de las veces, esto se me hizo evidente cuando analizamos los resultados que obtuvieron los estudiantes en una investigación en la que se media la capacidad de pasar de un sistema de representación a otro. En este trabajo me llamo mucho la atención el hecho de que los estudiantes podían pasar fácilmente de una representación grafica a una algebraica pero no hacer la operación contraria, es decir, expresar de manara algebraica un problema presentado gráficamente. ¿Esto se deberá a que siempre se enseña un tipo de ejercicios y no se consideran todos los casos? y si lo anterior es así ¿Por qué sucederá esto?
¿Qué herramientas me permitirán enseñar de tal manera que los estudiantes puedan relacionar adecuadamente conceptos con sus representaciones?. Creo que el estudiar este texto me ha permitido darme cuenta de las posibilidades de enseñar un tema son variadas y es nuestra tarea que al realizar la transposición didáctica consideremos todas las formas de representación que existen sobre un concepto y no sigamos utilizando sólo las tradicionales. Finalmente, espero poder desarrollar mi actividad como docente haciendo uso de todas las herramientas didácticas que conozca, por lo menos ahora se que para enseñar es necesario no solo conocer el tema sino que hay que considerar los conocimientos previos, los errores y dificultades que presentan los conceptos y las diferentes formas de representación que se tienen, esto para que se pueda comprender lo que se esta estudiando.

Más allá del concepto de transposición didáctica

Dentro del curso de Didáctica y evaluación de la especialidad hemos estado apropiandonos del concepto de Transposición Didáctica, durante las clases desarrolladas en las semanas del 19 y del 26 de marzo de 2007. Con el propósito de lograr lo anterior, se comenzó leyendo un texto llamado "Transposición didáctica", cuyo contenido se analizo y discutió en clases; posteriormente se realizo lo mismo con el documento titulado "Transposición Didáctica, del saber sabio al saber enseñado" y finalmente, se efectuó un trabajo desarrollado en grupos de 2 o 3 integrantes cada uno, que consistió en analizar críticamente la transposición didáctica efectuada en un texto de nivel mayor (universitario) a otro de menor nivel (escolar).

Respecto de la realización del trabajo, opino que la forma en que venia estructurado su desarrollo nos ayudaba a comprender las diferencias que presentaba el texto del estudiante en comparación con el universitario. Esto me facilitó el descubrimiento y posterior análisis de la transposición didáctica que efectuaron los autores del texto escolar al transformar el saber matematico de función para que fuese más fácil su comprensión para un alumno. Al analizar esta adaptación del saber me di cuenta que contextualizar los contenidos pensando en los estudiantes, les ayuda a la comprensión, pero también, que en este afan de facilitación se puede tender a desarrollar los temas de modo mecánicista más que constructivista

En conclusión, puedo decir que me gusto realizar el trabajo, pues me permitió comprender bastante mejor el concepto, además de hacerme reflexionar acerca de la transposición didáctica que yo tendré que efectuar para realizar mis clases; Así pues, descubrí que basar la enseñanza sólo en el texto escolar no es suficiente, también es posible rescatar las demostraciones y/o otros aspectos de textos académicos que nos ayudaran a realizar una mejor enseñanza que les ayude a los estudiantes a desarrollar un verdadero conocimiento.